Произведение первого и пятого членов убывающей арифметической прогрессии на 75 меньше произведения второго и четвертого ее членов. Найдите сумму первых пяти членов прогрессии, если сумма первого и второго ее членов равна 7. По условию задачи а1 ¦ а5 + 75 = а2 ¦ а4, а1 + а2 = 1 ¦ Выразим по формуле л-го члена второй, четвертый и пятый члены прогрессии: а2 = а1 + d; а4 = at + 3d; а5 = ах + 4d. Система примет вид { a^flj + 4d) + 75 = (aj + dKaj + 3d), I al + (aj + d) = 7; a\ + 4 axd + 75 = a\ + 4ajd + 3d2, 2a1 + d = 7; id2 = 25; [ 2a1 + rf = 7. Отсюда \d = b, Id = -5, 1 ИЛИ { г ai = l; | aj = 6. Прогрессия по условию убывающая. Следо- d = -5, вательно, aj = 6. Найдем сумму первых пяти членов прогрессии: s = 2ai + 4d . 5 = (12 - 20) 5 Так как q * 1 и * 0 (прогрессия убывающая), то, разделив первое уравнение системы на второе, получим 1 - , = 243. Найдем сумму восьми > -CD* первых членов: -20.

О т в е т: : -20.

. Разность первого и пятого членов убывающей геометрической прогрессии равна 240, а разность второго и четвертого равна 72. Найдите сумму восьми первых членов геометрической прогрессии. . Так как Ь5 = Ь1 • q4; Ь2 = Ь1 • q; b4= bJ • q3 (по формуле п-го члена), то условие задачи приведет к системе уравнений с двумя переменными Ьг и д: f>i - Ь5 = 240, ГЬ1-Ь1-^ = 240, Ь2 - Ь4 = 72; Т" е' | Ъ1 ¦ q - b1 • g3 = 72. Имеем далее Ь1 • 9(1 - д2) = 72. 243, , , = 3641. 3 1

Т. Докажите, что числа —. * , —1— образуют арифметическую про- log62 log12 2 грессию. . Используем характеристическое a, + а 1 свойство арифметической прогрессии: а2 = —- 51 . Упростим данное равен 2 2 ство, воспользовавшись формулой -—1— = log Ь: log ъа log, 3 +log, 12 i log2 6 = —-—; log2 6 = - log2 36; log2 6 = log2 6. Следовательно, числа 1 n , , 1 , ,——- log32 log6 2 log122 образуют арифметическую прогрессию. Что и требовалось доказать.

Сумма трех положительных чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна 15. Если первое из них оставить без изменения, ко второму из них прибавить 1, а к третьему прибавить 5, то получится возрастающая геометрическая прогрессия. Найдите произведение исходных трех чисел. Обозначим исходные три числа ах, а2, а3. Используя для арифметической прогрессии обозначение - и для геометрической прогрессии г., запишем условие задачи следующим образом: 13. 7 av а2, а3... и а1 + а2 + а3 - 15; 14. г aj, а2 + 1, ая + 5. Воспользовавшись формулой п-го члена арифметической прогрессии и характеристическим свойством геометрической прогрессии, получим соответственно: 14. а, + (а2 + d) + (а, + 2d) = 15; 14. (а2 + I)2 = aj(a3 + 5), где а2 = а1 + d, а3= a j + 2d. Таким образом, мы приходим к системе двух уравнений с двумя неизвестными и d. 3 ах + 3d = 15, (а1 + d + I)2 = al(al + 2 d + 5). Имеем далее: а1 + d = 5, (а1 + d + I)2 = а1{а1 + 2d + 5). Выразив aj через d из первого уравнения и подставив это выражение вместо aj во второе уравнение, получим: 36 = (5 - d)(10 + d), откуда находим d = -7 или d = 2. Следовательно, at = 12 при d = —7 или ах = 3 при d = 2. Пара чисел ax = 12 и d = -7 не удовлетворяет условию, так как арифметическую прогрессию составляют три положительных числа. Значит, условию удовлетворяют три числа 3; 5; 7. Произведение этих чисел равно 105.

. Сумма третьего, седьмого, четырнадцатого и восемнадцатого членов арифметической прогрессии равна 20. Найдите сумму первых двадцати членов этой прогрессии. . Так как а3 — а1 + 2d, а7 = а^ + 6d, аы = а1 + 13d, а18 = а1 + lid, то а3 + а7 + а14 + а18 = 4 аг + 38 d = 2(2а1 + 19d). По условию 2(2ах + 19d) = 20, т.е. 2а1 + + 19d = 10. Второе уравнение с неизвестными ах и d получить не удастся. Сумма первых двадцати членов равна: 2а, +19 d S20 = —L. • 20 = (2aj + 19d) ¦ 10 = = 10 • 10 = 100, так как 2аг + 19d = 10.

Три числа составляют геометрическую прогрессию. Если второй член уменьшить на 4, то полученные числа в том же порядке опять составят геометрическую прогрессию. Если в новой прогрессии третий член уменьшить на 9, то получится арифметическая прогрессия. Найдите первоначально данные числа. . Обозначим искомые три числа bx, b2, Ь3. Используя обозначения - для арифме- 54 тической прогрессии и г для геометрической прогрессии, запишем условие задачи следующим образом: 14. п bv b2, b3; 14. тт bv Ь2- 4, b3; 14. - by, b2 ~ 4, b3 - 9. Воспользовавшись характеристическим свойством геометрической и арифметической прогрессий, получим соответственно: 14. ъ\ = Ьг ¦ Ь3; 14. {Ь2 - 4)2 = Ь, ¦ Ь3- Ь,+Ьо-9 14. ъ2-±= 1 23 . Так как b2 = bx - q, a b3 = • q2, то: 14. Ъ\ -q2 = b, -Ъх -q2-, 14. • q - 4)2 = b1-b1- q2', b, +b, ¦ q2 -9 14. bl ¦ q - 4 = J ^ Первое условие как тождественное равенство можно опустить. Приходим к системе двух уравнений с двумя неизвестными: Ъ\ • q2 - 8Ьг • g + 16 = b\ ¦ q2, 2Ъг ¦ q - 8 = + Ъх - q2 ~ 9. Имеем далее: by-q-2, Ь\(ч2 - 2g + 1) = 1. Выразим i>j через q из первого уравнения о системы: Ь, = — , и подставим это выражение 1 9 вместо Ь, во второе уравнение системы: 2(g2 - 2g + 1) = ^ откуда находим q = 2 или 9 При 5 = 2 получим = 1, а при 9 = ^ имеем ft,-4. Значит, условию задачи удовлетворяют две тройки чисел: а) 1, 2, 4; б) 4, 2, 1.

Сумма пятнадцати первых членов геометрической прогрессии составляет 30% суммы ее последующих пятнадцати членов. Во сколько раз четвертый член прогрессии меньше ее девятнадцатого члена? Б. 1) Найдем сумму первых пятнадцати членов геометрической прогрессии: 14. Найдем сумму последующих пятнадцати членов геометрической прогрессии: S30 ~ Slo = = Ь1 -(д30-!) _ bj • (д15 - 1) = ft, • (g30 - <715) д-1 д-1 9-1 14. Составим уравнение на основании того, что сумма первых пятнадцати членов составляет 30% суммы ее последующих пятнадцати членов. У(915- 1) = 0 з . У(930-915) д-1 ' д-1 Имеем далее 1 = 0,3 • q15 или q15 = — . 3 14. Ь4 = Ьг ¦ q3; Ь19 = ft, • ft,9 : Ь4 - = W .

. Ваня, Миша, Алик и Вадим ловили рыбу. Оказалось, что количество рыб, пойманных каждым из них, образует в указанном порядке арифметическую прогрессию. Если бы Алик поймал столько рыб, сколько Вадим, а Вадим поймал бы на 12 рыб больше, то количество рыб, пойманных юношами, образовало бы в том же порядке геометрическую прогрессию. Сколько рыб поймал Миша? Обозначим количество рыб, пойманных Ваней, Мишей, Аликом и Вадимом aj, а2, а3, ал соответственно. Используя обозначения т для арифметической прогрессии и г для геометрической прогрессии, запишем условие задачи следующим образом: 14. - a j, а2, а3, а4; 14. п av а2, а.,, ал + 12. (*) Воспользовавшись формулой п-го члена ариметической прогрессии получим: а2 = al + d; а4= a j + 3d. Тогда условие (*) запишется в виде и ах, а^ -t- d, а1 + 3d, aj + 3d + 12. Используем характеристическое свойство геометрической прогрессии для её второго и третьего членов и получим систему уравнений с двумя неизвестными а1 и d: j (а1 + d)2 = аг ¦ (aj + 3d), \ (aj + 3d)2 - (Oj + d)(a1 + 3d + 12). Из первого уравнения системы следует, что d2 = ajd или d = а1 (так как d ^ 0). Тогда из второго уравнения системы находим d = 3. Следовательно, = 3 и d = 3. Количество рыб, пойманных Мишей, равно 6.

Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 3, а сумма кубов всех ее членов равна . Найдите первый член прогрессии. . Пусть bv b2, b3, ... br бесконечно убывающая геометрическая прогрессия,. т.е. п Ьгд; Ь^2; ... ; Ьг ¦ q По условию ее сумма равна 3, т. е. —!- = 3. 1 -j = 3-(l-g) = 3 ^1-|j = 2.