Морская вода содержит 5% соли. Сколько килограммов пресной воды необходимо добавить к 180 кг морской воды, чтобы содержание соли в последней составило 4%? 1) Найдем количество пресной воды в 180 кг морской воды. Для этого нужно найти 95% от 180 кг: 180 • 0,95 = 171 (кг). 2) Затем найдем количество пресной воды в (180 + х) кг морской воды с содержанием соли 4%. Для этого нужно найти 96% от (180 + л:) кг, т.е. (180 + х) * 0,96 = 172,8 + 0,96х (кг). 3) Составим уравнение: 171 + х = 172,8 I (),9б.\. Решив его, найдем х — 45.

В первом сосуде находится 500 мл 70% раствора кислоты, во втором — 200 мм 90% раствора кислоты. Сколько миллилитров раствора .нужно перелить из второго сосуда и первый, чтобы в первом сосуде получился 75% раствор кислоты? 1) Пусть перелили х мл раствора из второго сосуда в первый (рис. 7). В х мл этого раствора содержится 0,9х мл кислоты, так как по условию раствор 90%-й. 2) В первом сосуде содержится 70% кислоты, т.е. 0,7 * 500 мл = 350 мл. 3) После того, как из второго сосуда перелили х мл раствора в первый сосуд, в первом сосуде стало (350 + 0,9х) мл кислоты. 4) Найдем новую концентрацию раствора кислоты в первом сосуде, составив пропорцию: (350 + 0,9х) мл кислоты — а%; (500 + х) мл кислоты — 100%. Из пропорции найдем а: _ (350+ 0.9*)-100ц . т е а = 35000 + 90*'«- . Н 500^1 ' 500 + * 5) По условию задачи а = 75%, отсюда 35000 + 90х = 75 35000 + 90л. = 37500 + 75х; 500 + х 15х = 2500; х = 166?.

ТВыпуск продукции за год работы предприятия возрос на 8%. На следующий год он увеличился еще на 10%. Определите средний прирост продукции за этот период. . Обозначим средний ежегодный прирост продукции через q%. Тогда по формуле (3) имеем: I 100 Jl 100 ) I 100 I Отсюда находим q = Vl08 • 110 - 100 « 8,99.

ПВ сосуде было 16 л соляной кислоты. Часть кислоты вылили и добавили в сосуд воды. Затем вылили столько же и снова долили воды. Сколько выливали каждый раз, если в сосуде оказался 25%-й раствор кислоты? Воспользуемся формулой (4): С = S— f 1 - — л 100 I К0 С„ = 25% - ^L ; р = 100%; а = К0 = 16 л; п = 2. 25 = 100 (1 _ х У. (, _ х 100 100 I 16 J ' { 16

Из сосуда, до краев наполненного чистым глицерином, отлили 2 л глицерина и в сосуд долили 2 л воды. После перемешивания из него снова отлили 2 л смеси и долили 2 л воды. В результате объем воды стал в 26 раз больше объема глицерина. Найдите объем сосуда. Так как в результате объем воды стал в 26 раз больше объема глицерина, то объемная концентрация глицерина равна Сп = Воспользуемся формулой (4): 1 ^ 100 27 100 1 - - V Решив это уравнение, найдем V0 = 27 ^ .

Два сосуда одинакового объема наполнены раствором соли одинаковой концентрации. Из первого сосуда отлили 2а литров раствора и долили 2а литров воды. Из второго сосуда отлили За литров раствора и долили За литров воды. Потом эту процедуру повторили еще 2 раза. В результате концентрация кислоты в 27 первом сосуде оказалась в — раз больше, чем 8 концентрация кислоты во втором сосуде. Какую часть от объема сосуда составляют а литров? Используя формулу (4), имеем: -Р- (l- Y = 27 . _р_ (, _ За у 100 V V0J 8 100 I VgJ' I V0) 8 I Vj Извлечем из обеих частей уравнения кубический корень: ,2a _3|'i_3aV-._2a = 3 9а V0 2 V V0)' V0 2 2V0' 5 • J! = i • _?_ = i 2 V0 2 ' V0 5

Задачи, в условии которых присутствует несколько растворов (сплавов) можно решать, не применяя формулу (4). Рассмотрим далее несколько примеров. 34

В сосуде было 20 л чистого спирта. Часть этого спирта отлили, а в сосуд долили воды. Затем отлили столько же литров смеси и снова долили воды. После этого в сосуде оказалось чистого спирта втрое меньше, чем воды. Сколько спирта отлили в первый раз? Будем заносить в таблицу данные о количестве растворов, объеме спирта в этих растворах и процентном содержании спирта в каждом растворе, взяв в качестве переменной х л — количество жидкости, отливаемое каждый раз. Поясним, что х л — количество жидкости, отливаемое каждый раз. Так как для получения 2 раствора отлили х л чистого спирта (концентрация 1 раствора — 100%), то содержание спирта во 2 растворе стала (20 - х) л. Соответственно изменилась и концентрация 2 раствора. Новую концентрацию можно найти, решив пропорцию 20 л - 100%; (20 - х) л - А% . Отсюда Третий раствор по объему равен двум предыдущим, так как отливали и доливали одинаковое количество жидкости. Содержание спирта в 3 растворе уменьшается по сравнению со 2 раствором. Найдем это уменьшение. Из 2 раствора отлили х л с концентрацией А%, т.е. с х л 2 раствора «ушло» А у л спирта. Тогда содержание спирта в 3 растворе стало ^ 20 - х - j л. Обозначив это количество В л, найдем концентрацию 3 раствора, составив и решив пропорцию: 20 л - 100%; В л - С%, отсюда С = Так как в 3 растворе чистого спирта оказалось втрое меньше, чем воды, то В = ~ * 20 = 5 (л). Решим теперь уравнение: 20 - х - = 5; 20 - * - (20-*)* = 5. 100 20 400 - 20* - 20х + х2- 100 = 0; х = 10 или х = 30. Значение х = 30 не удовлетворяет условию задачи, так как в сосуде было 20 л спирта.

Имеются два сплава с различным процентным содержанием свинца. Масса одного 6 кг, другого 12 кг. От каждого из них отрезали по куску равной массы, после чего сплавили отрезанные куски с остатком другого куска. В результате процентное содержание свинца в полученных сплавах стало одинаковым. Какова масса отрезанного куска? Пусть х кг - масса, которую отрезают от каждого куска. Обозначив процентное содержание свинца в 1 сплаве за а%, а во 2 сплаве за (3%, найдем количество свинца в 1 сплаве ИЗОБРАЖЕНИЕ кг и во 2 сплаве ИЗОБРАЖЕНИЕ кг. Третий сплав получается, если от 6 кг первого сплава отрезать х кг и сплавить оставшуюся часть с х кг второго сплава. Найдем количество свинца в 3 сплаве. Свинца в 3 сплаве будет ИЗОБРАЖЕНИЕ кг., так как в 1 сплаве было ИЗОБРАЖЕНИЕ кг свинца, с х кг первого сплава «ушло» ИЗОБРАЖЕНИЕ кг., так как 1 сплав а%-й, с х кг. второго сплава поступит ИЗОБРАЖЕНИЕ кг., т.к. 2 сплав В% Обозначив это количество свинца в 3 сплаве за А кг, найдем процентное содержание 3сплава: 6 кг — 100%; А кг — у% , откуда ИЗОБРАЖЕНИЕ Аналогично заполняем таблицу сведениями о IV сплаве. По условию задачи в 3 и 4 сплавах процентное содержание свинца стало одинаковым: Y = v, т.е. ±™ = i (6а - ах + (5х) = = i-(12p-px + ax); 12а - 2ах + = 120 - (3* + а*; 12(а - Р) - 3*(а - (3) = 0; (а - Р)(12 - Здг) = 0. Так как а * Р, то х = 4.

Вклад, находящийся в банке с начала года, возрастает к концу года на определенный процент (у каждого банка процент разный). В начале года 3/5 некоторой суммы положили в первый банк, а остальную часть — во второй банк. К концу года сумма этих вкладов составила 590 д.е., к концу следующего года — 701 д.е. Если бы первоначально 3/5 исходного количества денег положили во второй банк, а оставшуюся часть — в первый, то через год сумма вкладов была бы 610 д.е. Какова в этом случае была бы сумма вкладов в эти банки к концу второго года? Пусть а д.е. — вся сумма; k% — процент первого банка; п% — процент второго банка. Обозначим = Ь; = с. 1) Если в первый банк положили – 3/5а д.е., то через год там будет 3/5 ИЗОБРАЖЕНИЕ д.е. (см. формулу 1). Через два года — ИЗОБРАЖЕНИЕ 3) Аналогично, если во второй банк положить 2/5 д.е., то через год там будет 2/5а ИЗОБРАЖЕНИЕ д.е. (по формуле 1), а через два года — 3/5 а ИЗОБРАЖНИЕ 5 Составим таблицу для первого случая размещения. Для второго случая размещения получим такую таблицу а(с + 1) + f а(Ь + 1) = 610, 5 а(с + 1)2 + ?а(Ь + Х)2 = 2. 5 Умножим уравнение (1) на -1,5 и сложим с уравнением (3): -- аф + 1) = -275, откуда получаем: Ь + 1 = — . Умножим уравнение (3) на -1,5 и сложи у уравнением (1): -- о(с + 1) = -325, откуда полу чаем: с + 1 = . а Подставим Ъ + 1 = и с + 1 = во втор. а а 3 (550 ")2 , 2 (650 уравнение системы: - а + - а 5 V а J 5 V a J = 701. Решив это уравнение, найдем а = 500. Тогда Ь+1=|55 - 1,1 и с + 1 = = 1,3. Поэтому четвертое уравнение системы примет вид: | • 500 • 1,32 + § • 500 ¦ 1,12 - Z, т.е. Z = 749. 55