Из пункта А в пункт В вышел товарный поезд. Спустя 3 ч. вслед за ним вышел пассажирский поезд оказался впереди товарного на 300 км. Определите скорость товарного поезда. Пусть скорость товарного поезда xкм/ч, тогда скорость пассажирского поезда (x+30) км/ч. из условия задачи ясно, что товарный поезд был в пути 18 ч. и проделал путь 18х км. Пассажирский поезд за 15 ч. проделал путь 15(х+30) км. Так как пассажирский поезд оказался впереди товарного на 300 км., то получилось следующее уравнение: 15(х+30) – 18х = 300. Решив его, находим х = 50. По смыслу задачи x> 0. Найденное значение удовлетворяет этому условию. Решение задачи может быть оформлено иначе – в виде таблицы.

	V(км/час)	t(ч)	S(км)
Товарный поезд	x	18	18x
Пассажирский поезд	x+30	15	15(x+30)

По условию задачи имеем 15(х+30) – 18х = 300; х>0. Полученное уравнение имеет решение х = 50.

Три тела движутся по прямой линии из точки А к точке В. Второе тело начало двигаться на 5 с., а третье на 8 с. позже первого. Скорость первого тела меньше скорости второго на 6 см/с. Найдите расстояние АВ и скорость первого тела, если известно, что все три тела достигают точки Вв один и тот же момент. Пусть расстояние АВ равно S, скорость второго тела равна х см/с. тогда скорость первого тела (х-6) см/с., а скорость третьего тела 30 см/с. по одной из формул получим, что S/(x-6)с.,s/xс.,s/30 с. – время, затраченное соответственно первым, вторым и третьим телом на прохождение всего расстояния. Составим систему из двух уравнений на основании того, что первое тело затратило на путь на 5 с. больше, чем второе, а третье на 8 с. меньше, чем первое. Решим ее:Разделив первое уравнение на второе, получим Из этого уравнения находим х = 12 или х = 24. Оба значения удовлетворяют условию задачи.

• Если х =12, то S = 60.
• Если х = 24, то S = 360.

До этапа составления системы уравнений решение может быть оформлено иначе.

	V(км/час)	t(ч)	S(км)
I тело	x-6	S/(x-6)	S
II тело	x	S/x	S
III тело	30	S/30	S

Три пловца должны проплыть в бассейне дорожку длиной 50м., немедленно повернуться назад и вернуться к месту старта. Сначала стартует первый, через 5с. после него второй, еще через 5с. – третий. В некоторый момент времени, еще не достигнув конца дорожки, они оказались на одном расстоянии от места старта. Третий пловец, доплыв до конца дорожки и повернув назад, встретил второго в 4 м. от конца дорожки и первого в 7 м. от конца дорожки. Найдите скорость третьего пловца. На рисунке 1 точкой В обозначено место встречи всех пловцов (в задаче сказано, что в некоторый моментвремени, еще не достигнув конца дорожки, они оказались на одном расстоянии от места старта); в точке D встречаются второй и третий пловцы; в точке С встречаются третий и первый пловцы. Составим таблицу, из которой будет видно, какие неизвестные величины мы приняли за х и за у, какое время плыли пловцы до места первой встречи и какова скорость каждого пловца. Итак, первая таблица характеризует движение пловцов от старта до места первой встречи.

	V(м/сек)	t(c)	S(м)
I пловец	x/y	y	x
II пловец	x/(y-5)	y-5	x
III пловец	x/(y-10)	y-10	x

Заполним вторую таблицу, характеризующую движение третьего и второго пловцов от старта до места их второй встречи в точке D.

	V(м/сек)	t(c)	S(м)
II пловец	x/(y-5)	46(y-5)/x	46
III пловец	x/(y-10)	54(y-10)/x	54

Составим уравнение на основании того, что второй пловец стартовал на 5 с. раньше третьего пловца: Заполним третью таблицу, характеризующую движение первого и третьего пловцов от старта до места их второй встречи в точке С.

	V(м/сек)	t(c)	S(м)
II пловец	x/y	43y/x	43
III пловец	x/(y-10)	57(y-10)/x	57

Составим уравнение на основании того, что первый пловец стартовал на 10 с. раньше третьего пловца: Таким образом, мы получили систему уравнений: . Решив ее, получим х = 22, у = 25. Найдем скорость третьего пловца: .

Пешеход, велосипедист и мотоциклист движутся по шоссе в одну сторону с постоянными скоростями. В том момент времени, когда пешеход и велосипедист находились в одной точке, мотоциклист был на расстоянии 9 км.позади них. А в тот момент, когда мотоциклист догнал пешехода, велосипедист обогнал пешехода на 3 км. Найдите количество километров, на которые пешеход отстал от велосипедиста в тот момент, когда велосипедиста настиг мотоциклист. Флажком на рисунках отмечены встречи пешехода и велосипедиста, пешехода и мотоциклиста, велосипедиста и мотоциклиста. Итак, рассмотрим первую ситуацию: мотоциклист, догнав пешехода, там самым ликвидировал свое отставание от него на 9 км.в начальный момент движения. В этом случае время, за которое мотоциклист догнал пешехода, равно Заполним первую таблицу.

	V(км/ч)	t(ч)	S(км)
Мотоциклист	x	9/(x-y)	9x/(x-y)
Пешеход	y	9/(x-y)	9y/(x-y)
Велосипедист	z	9/(x-y)	9z/(x-y)

Рассмотрим вторую ситуацию. На рисунке 2 (б) между мотоциклистом и велосипедистом 3 км. Тогда время, за которое мотоциклист догонит велосипедиста, равноЗа это время и пешеход пройдет некоторое расстояние см. рис. 2 (в). Заполним вторую таблицу.

	V(км/ч)	t(ч)	S(км)
Мотоциклист	x	3/(x-z)	3x/(x-z)
Пешеход	y	3/(x-z)	3y/(x-z)
Велосипедист	z	3/(x-z)	3z/(x-z)

По рис. 3 видно, что в задаче требуется найти расстояние между пешеходом и велосипедистом через ч, т.е. разность. К моменту встречи велосипедиста и мотоциклиста мотоциклист проехал на 9 км.больше, чем велосипедист. Взяв данные из двух таблиц, найдем разность всего пути мотоциклист и всего пути велосипедиста: Последовательно имеем: Используя это соотношение, найдем значение выражения (*): .

Две точки движутся по окружности длиной 1.2 м. с постоянными скоростями. При движении в разных направлениях они встречаются через каждые 15 с. При движении в одном направлении одна точка догоняет другую через каждую минуту. Найдите скорость движения каждой точки. При движении точек в разных направлениях они за 15 с. обе проходят длину окружности, т.е. 1.2 м., т.к. начинают движение одновременно и встречаются каждые 15 с. (рис. 4) .

	V(км/ч)	t(ч)	S(км)
I точка	x	15	15x
II точка	y	15	15y

Составим первое уравнение на основании того, что обе точки за 15 с. прошли путь 1.2 м. т.е. 15х + 15у = 1.2. При движении точек в одном направлении первая точка догоняет вторую через каждую минуту (рис. 5). Это означает, что за 1 минуту первая точка должна пройти полный круг 1.2 м. и еще столько, сколько успеет пройти за 1 минуту вторая точка, (т.е. мы приняли х>у). ИЗОБРАЖЕНИЕ 32. ИЗОБРАЖЕНИЕ 33. Составим второе уравнение на основании того, что первая точка за указанное время прошла на 1.2 м. больше, чем вторая. 60х = 60у + 1.2. Таким образом, мы получим систему уравнений: ИЗОБРАЖЕНИЕ 34. Решив ее, мы получим х = 0.05; у = 0.03.

Спускаясь по движущемуся эскалатору, пассажир проходит до его конца 40 ступеней. При движении против хода эскалатора ему приходится преодолеть 120 ступеней. Сколько бы он . особенностью задачи является нахождение пути пассажира, т.е. длины эскалатора, но не в метрах, а в ступеньках. Пусть К ступенек – длина эскалатора; х ступ/мин. – собственная скорость пассажира; у ступ/мин. – скорость эскалатора. Составим таблицу, в которую занесем скорость и время движения пассажира по ходу движения эскалатора и против хода. ИЗОБРАЖЕНИЕ 35. Произведение времени на скорость дает путь. Пассажир по ходу движения проделал путь в 40 ступенек, т.е. ИЗОБРАЖЕНИЕ 36. Имеем систему уравнений. ИЗОБРАЖЕНИЕ 37. Разделив первое уравнение на второе, получим ИЗОБРАЖЕНИЕ 38; откуда ИЗОБРАЖЕНИЕ 39. Подставим ИЗОБРАЖЕНИЕ 40 в первое уравнение системы: ИЗОБРАЖЕНИЕ 41.

С. Если пароход и катер проплывут по течению, то расстояние от пункта А до пункта В пароход проходит в 1.5 раза быстрее, чем катер; при этом катер каждый час отстает от парохода на 8 км. если же они плывут по течению, то пароход проходит путь от В до А в два раза быстрее катера. Найдите скорость парохода и катера в стоячей воде. Пусть скорость парохода – х км/ч., тогда скорость катера равно (х – 8) км/ч. Обозначив путь от пункта А до пункта В через а км., и скорость течения реки у км/ч, заполним таблицу, отражающую движение катера и парохода по течению. ИЗОБРАЖЕНИЕ 42. Так как по условию задачи время движения парохода по течению в полтора раза меньше, чем время движения катера, получим уравнение ИЗОБРАЖЕНИЕ 43. Движение парохода и катера против течения охарактеризуем, заполнив таблицу. ИЗОБРАЖЕНИЕ 44. По условию задачи время парохода, затраченное на путь против течения, в 2 раза меньше, чем время катера: ИЗОБРАЖЕНИЕ 45. Получим и решим систему уравнений: ИЗОБРАЖЕНИЕ 46.